حل دستگاه های معادلات دیفرانسیل

حل دستگاه های معادلات دیفرانسیل

روش های رونگه – کوتای ضمنی (همچون روش s- گامی رادو IIA با 7 ، 5 ، 3 = s) برای حل دستگاه های معادلات دیفرانسیل سخت خواص پایداری بسیار خوبی دارند و جواب آن ها دارای مرتبه ی دقت بالایی است اما هزینه بالای محاسباتی آن ها در حل معادلات مرحله ای غیرخطی آن ها ، به شدت کاربرد این روش ها را در حل مسائل بزرگ مقیاس محدود کرده است. برای کاهش چنین هزینه هایی ، الگوریتم های نیوتن تقریبی متعددی در دهه های اخیر ارائه شده است که یکی از پرکاربردترین آن ها روش ساده شده نیوتن نام دارد.

روش نیوتن ساده شده ، در اجرای روش های رونگه – کوتای ضمنی مؤثر و کارامد است ولی در عین حال ، خاصیت همگرایی ضعیفی دارد.

به منظور بهبود بخشیدن به خصوصیات همگرایی ، ساختار تازه ای از تقریب جدید ماتریس ژاکوبین ،  ، ارائه می شود.

به وسیله این تقریب جدید ماتریس ژاکوبین ، روش نیوتن ساده شده به شکل جدیدی اصلاح شده که روش نیوتن تقریبی اصلاح شده نامیده می شود.

 تعاریفی از معادلات دیفرانسیل معمولی و دستگاه معادلات غیرخطی ، روش نیوتن و روش نیوتن ساده شده آمده است.

در فصل دوم ، به تشریح دستگاه های معادلات دیفرانسیل سخت ، روش رونگه – کوتای ضمنی ، روش رادافر پرداخته شده است.

 ، روش نیوتن تقریبی اصلاح شده را توصیف کرده و در فصل چهار به نتایج عددی این روش پرداخته شده است.

فهرست مطالب

فصل 1

تعاریف و مفاهیم مقدماتی

مقدمه:

ضریب تانسوری کرونکر:

معادلات دیفرانسیل:

تعریف 1-6-1- معادله دیفرانسیل:

1-6-1- معادله دیفرانسیل معمولی:

1-6-2- معادله دیفرانسیل معمولی خطی:

1-7- حل عددی معادلات دیفرانسیل:

1-8- دستگاه معادلات غیرخطی:

1-9- تاریخچه روش نیوتون:

1-10- روش نیوتون:

1-10-1- روش نیوتون ساده شده:

فصل 2

روش های رونگه – کوتا:

2-1- دستگاه های معادلات دیفرانسیل سخت:

2-2- جدول بوچر:

2-3- روش رادو:

فصل 3

روش تقریبی اصلاحی نیتوتن برای فرمول های رونگه – کوتای ضمنی:

3-1- روش رونگه – کوتای ضمنی:

3-2- روش تقریبی اصلاحی نیوتن:

3-3- تحلیل همگرایی:

فصل 4

پیاده سازی و نتایج عددی

مقدمه:

4-2- اعتبار جواب های عددی:

4-3- همگرایی در مقابل طول گام:

4-4- عملکرد با طول گام های متغیر: